Isaac Newton miêu tả chuyển động của mọi vật bằng sử dụng khái niệm quán tính và lực, và ông cũng nhận thấy rằng chúng tuân theo một số định luật bảo toàn. Năm 1687, Newton công bố cuốn sách Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica chứa nội dung về các nghiên cứu của ông.[4][7] Trong cuốn sách này, Newton dẫn ra ba định luật chuyển động mà cho tới ngày nay là cách mà lực được miêu tả trong vật lý học.[7]

Định luật thứ nhất

Định luật thứ nhất của Newton phát biểu rằng mọi vật sẽ tiếp tục chuyển động trong trạng thái với vận tốc không đổi trừ khi nó bị tác động bởi tổng hợp lực bên ngoài.[7] Định luật này mở rộng quan niệm của Galileo về vận tốc không đổi luôn kết hợp với sự thiếu đi lực tác dụng (xem miêu tả chi tiết bên dưới). Newton đề xuất rằng mỗi vật có khối lượng sẽ có quán tính tự thân như là hàm của "trạng thái tự nhiên" cân bằng cơ bản trong ý tưởng của Aristote về "trạng thái nghỉ tự nhiên". Do vậy, định luật thứ nhất mâu thuẫn với niềm tin trực giác của Aristote rằng hợp lực là cần thiết nhằm duy trì một vật chuyển động với vận tốc không đổi. Bằng cách đặt trạng thái nghỉ không thể phân biệt về mặt vật lý với trạng thái của vật với vận tốc không đổi khác 0, định luật thứ nhất của Newton liên hệ trực tiếp quán tính với khái niệm vận tốc tương đối của Galileo. Đặc biệt, trong hệ mà các vật đang chuyển động với nhiều vận tốc khác nhau, sẽ không thể xác định được vật nào là "đang chuyển động" và vật nào là "đang đứng yên". Nói cách khác, các định luật vật lý là như nhau trong mỗi hệ quy chiếu quán tính, tức là các hệ tuân theo phép biến đổi Galileo.

Ví dụ, khi ngồi trong một chiếc xe chuyển động với vận tốc đều, các định luật vật lý xảy ra trong chiếc xe sẽ không khác gì khi nó đứng yên tương đối. Một người ngồi trong xe ném lên một quả bóng sẽ bắt lại được khi nó rơi xuống mà không bị ảnh hưởng bởi hướng và vận tốc của chiếc xe. Điều này còn đúng ngay cả khi có một người đứng ở mặt đất quan sát thấy xe chạy qua và quả bóng ném trong xe đi theo quỹ đạo parabol theo hướng của chiếc xe. Quán tính của quả bóng kết hợp với vận tốc không đổi của nó theo hướng của chiếc xe chuyển động đảm bảo rằng quả bóng tiếp tục di chuyển theo hướng đó ngay cả khi nó bị ném lên và rơi xuống. Từ quan sát của người ngồi trong xe, chiếc xe và mọi thứ khác bên trong nó ở trong trạng thái nghỉ: trong khi thế giới bên ngoài đang chuyển động với vận tốc không đổi theo hướng ngược lại với chiều chuyển động của chiếc xe. Do không có một thí nghiệm nào có thể phân biệt được chiếc xe đang đứng yên hay thế giới bên ngoài đang đứng yên, hai tình huống này được coi là không thể phân biệt được về mặt vật lý. Do đó quán tính áp dụng một cách bằng nhau cho hệ chuyển động với vận tốc đều hay khi nó đứng yên.

Có thể tổng quát khái niệm quán tính một cách sâu hơn nhằm giải thích cho xu hướng của các vật tiếp tục trong nhiều dạng khác nhau của chuyển động đều, ngay cả khi không giới hạn trong chuyển động đều. Quán tinh quay của Trái Đất thể hiện ở sự không thay đổi độ dài của ngày và của năm (khi không kể đến các ảnh hưởng khác). Albert Einstein đã mở rộng nguyên lý quán tính khi ông áp dụng cho những hệ chuyển động với gia tốc không đổi, như hệ quy chiếu gắn với các vật rơi tự do trong trường hấp dẫn Trái Đất sẽ tương đương vật lý với hệ quy chiếu quán tính. Điều này giải thích tại sao, ví dụ, các nhà du hành vũ trụ có cảm giác không trọng lượng khi ở trên quỹ đạo rơi tự do quanh Trái Đất, và tại sao các định luật chuyển động của Newton có thể dễ dàng kiểm chứng trong môi trường không trọng lực (hoặc vi trọng lực). Nếu nhà du hành đặt một vật khối lượng trong tàu vũ trụ, nó sẽ giữ trạng thái đứng im so với con tàu do quán tính. Điều này xảy ra hệt khi nhà du hành và con tàu vũ trụ ở trong không gian liên thiên hà khi không có lực tác dụng của lực hấp dẫn tác dụng lên hệ quy chiếu trong con tàu. Đây chính là nguyên lý tương đương và nó là một trong những cơ sở của thuyết tương đối tổng quát.[8]

Một trong những phương trình nổi tiếng của Isaac Newton là
F → = m a → {\displaystyle \scriptstyle {{\vec {F}}=m{\vec {a}}}} , mặc dù ông viết dạng phương trình của định luật chuyển động thứ hai khi không sử dụng phép tính vi phân.

Định luật thứ hai

Cách trình bày hiện đại của định luật hai Newton là dưới dạng phương trình vi phân vectơ:[Note 1]

F → = d p → d t , {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}},}

với p → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {p}}} là động lượng của hệ, và F → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}} là hợp lực (tổng vectơ). Trong hệ cân bằng, hợp lực tác dụng bằng 0, nhưng có thể có nhiều lực tác dụng (cân bằng nhau) vào hệ. Ngược lại, định luật thứ hai nói rằng khi lực không cân bằng tác dụng lên vật sẽ làm cho động lượng của vật thay đổi theo thời gian.[7]

Theo định nghĩa của động lượng,

F → = d p → d t = d ( m v → ) d t , {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left(m{\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}},}

với m là khối lượng và v → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}} là vận tốc của nó.[1]:9-1,9-2

Định luật hai chỉ áp dụng cho hệ có khối lượng không đổi,[Note 2] và ở đây m có thể đưa ra ngoài toán tử đạo hàm. Phương trình lúc này trở thành

F → = m d v → d t . {\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.}

Bằng cách thay định nghĩa của gia tốc, dạng đại số của định luật hai Newton trở thành:

F → = m a → . {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}.}

Định luật hai Newton chứng tỏ mối liên hệ trực tiếp của gia tốc tỷ lệ thuận với lực và khối lượng tỷ lệ nghịch với nó. Gia tốc có thể đo được thông qua định nghĩa về mặt động học. Tuy nhiên, trong khi chuyển động học được miêu tả rõ ràng thông qua phân tích hệ quy chiếu trong vật lý cao cấp, vẫn còn có những câu hỏi sâu sắc về định nghĩa bản chất của khối lượng. Thuyết tương đối rộng đề xuất sự liên hệ giữa không thời gian, trường hấp dẫn và khối lượng, nhưng hiện vẫn chưa có một lý thuyết hấp dẫn lượng tử được chấp thuận, do vậy sự liên hệ này có còn đúng khi các nhà vật lý xét ở cấp độ vi mô hay không. Với một vài điều chỉnh, định luật hai Newton có thể dùng làm định nghĩa cho phép đo về khối lượng bằng cách viết định luật dưới dạng biểu thức toán học tương đương.

Cách sử dụng định luật hai Newton làm định nghĩa cho lực không được sự đồng thuận rộng rãi trong nhiều cuốn sách vật lý nâng cao,[1]:12-1[3]:59[9] mặc dù nó đúng về bản chất toán học. Nhiều nhà vật lý, triết học và toán học nổi tiếng đi tìm một cách định nghĩa hiển cho khái niệm lực bao gồm Ernst Mach, hay Walter Noll.[10][11]

Định luật hai cũng được áp dụng để đo độ lớn của lực. Ví dụ, khi biết khối lượng của hành tinh cùng với gia tốc của nó trên quỹ đạo cho phép tính ra được lực hấp dẫn tác động lên hành tinh đó.

Định luật thứ ba

Định luật thứ ba của Newton là kết quả của áp dụng tính đối xứng cho trường hợp khi lực có ảnh hưởng đáng kể lên các vật khác nhau. Định luật thứ ba có nghĩa là mọi lực là sự tương tác giữa các vật với nhau,[12][Note 3] và do vậy không có thứ như lực vô hướng hay lực tác dụng chỉ lên một vật. Bất cứ khi nào vật thứ nhất tác dụng lực F lên vật thứ hai, vật thứ hai sẽ tác dụng lực −F lên vật thứ nhất. F và −F có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng. Định luật này đôi khi còn gọi là định luật tác dụng-phản tác dụng, với F gọi là "tác dụng" và −F là "phản tác dụng". Tác dụng và phản tác dụng là đồng thời:

F → 1 , 2 = − F → 2 , 1 . {\displaystyle {\vec {F}}_{1,2}=-{\vec {F}}_{2,1}.}

Nếu vật 1 và vật 2 được coi trong cùng một hệ, khi đó hợp lực tác dụng lên hệ do sự tương tác giữa vật 1 và 2 là bằng 0 do

F → 1 , 2 + F → 2 , 1 = 0 {\displaystyle {\vec {F}}_{1,2}+{\vec {F}}_{\mathrm {2,1} }=0} ∑ F → = 0. {\displaystyle \sum {\vec {F}}=0.}

Điều này có nghĩa là trong hệ kín gồm các hạt, không có nội lực mất cân bằng. Tức là, lực tác dụng-phản tác dụng giữa bất kì hai vật nào trong hệ kín sẽ không làm gia tốc khối tâm của hệ. Các vật trong hệ chỉ gia tốc tương đối với nhau, trong khi về tổng thể thì cả hệ không bị gia tốc. Hay cách khác, nếu có ngoại lực tác dụng lên hệ, thì khối tâm của hệ sẽ chịu sự gia tốc bằng độ lớn của ngoại lực chia cho khối lượng của cả hệ.[1]:19-1[3]

Kết hợp định luật hai và ba của Newton, có thể chứng tỏ được rằng động lượng của một hệ là bảo toàn. Sử dụng

F → 1 , 2 = d p → 1 , 2 d t = − F → 2 , 1 = − d p → 2 , 1 d t {\displaystyle {\vec {F}}_{1,2}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{1,2}}{\mathrm {d} t}}=-{\vec {F}}_{2,1}=-{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{2,1}}{\mathrm {d} t}}}

và tích phân theo thời gian, thu được phương trình:

Δ p → 1 , 2 = − Δ p → 2 , 1 {\displaystyle \Delta {{\vec {p}}_{1,2}}=-\Delta {{\vec {p}}_{2,1}}}

Đối với hệ bao gồm vật 1 và 2,

∑ Δ p → = Δ p → 1 , 2 + Δ p → 2 , 1 = 0 {\displaystyle \sum {\Delta {\vec {p}}}=\Delta {{\vec {p}}_{1,2}}+\Delta {{\vec {p}}_{2,1}}=0}

tức là động lượng được bảo toàn.[13] Lập luận tương tự, có thể tổng quát hóa kết quả cho hệ chứa số lượng hạt bất kỳ. Điều này cũng chỉ ra rằng động lượng trao đổi giữa các hạt sẽ không ảnh hưởng đến tổng động lượng của cả hệ. Nói chung, khi coi tất cả lực là do tương tác giữa khối lượng các vật (như bỏ qua lực điện từ), có thể xác định một hệ với tổng động lượng bảo toàn.[1][3]